Notação Cientifica

Aprenda tudo sobre notação ciêntifica

O que é a notação científica e como se pode usar?

    Hoje é normal o uso da notação científica, isto é a escrita de um número com o auxílio de potências de base 10. 

 Geralmente usa-se o seguinte formato:

Escrever um número na notação exponencial (notação científica) tem muitas vantagens:

1. Para os números muito grandes ou muito pequenos poderem ser escritos de forma mais abreviada.
2. Na utilização dos computadores ou máquinas de calcular esta notação tem um uso regular.
3. Tornam os cálculos muito mais rápidos e fáceis.

Números maiores que  10

1. Localizada a vírgula desloca-se esta para a esquerda por forma a ficar um algarismo não nulo à esquerda.
2. Esse inteiro será o N (atrás referido) da expressão correspondente à notação científica.
3. Conta-se o número de casas que a vírgula andou no ponto nº 1, esse será o expoente de 10.
4. Assim obtemos o número escrito sob a forma : N  X  10^x.

Vamos ao primeiro exemplo que podes seguir passo a passo

Seja o número 23419 :

na notação científica como se escreve?

1. Vamos deslocar a vírgula 4 casas para a esquerda e fica:

   2.3419

2. O expoente encontrado será 4
3. Escreve-se agora o produto:

   Ou seja: 2.3419 X 10 ⁴

Como fazer quando os números são menores que um?

Vamos seguir exactamente os mesmos passos do item anterior só que a vírgula vai deslocar.se para a DIREITA. O número de posições ou casas que a vírgula se deslocou para a direita será o nosso  -x (expoente negativo de 10)

Convém recordar que uma potência de expoente negativo pode ser escrita com o uso de um expoente positivo. Exemplo::

10^-5 pode ser reescrito como 1/ 10⁵.

Vamos escrever agora um número em notação científica. Seja:

0.000436

1. Primeiro vamos deslocar a vírgula por forma a termos uma parte inteira não nula e menor que 10:

   Teremos : 4.36

2. A vírgula deslocou-se para a direita quatro casas. Então o expoente de 10 será -4

   E a expressão final será:   4.36 X 10^-4

E se o número está entre 1 e 10?

(Este é o caso com menor interesse)

Neste caso não é necessário mover a vírgula basta só recordar que 10⁰ =1 (como todas as potências de expoente zero) Então vamos ver o exemplo seguinte:

7.92 pode ser escrito como:   7.92 X 1 = 7.92X 10⁰

I Escreve agora os números dados com a notação científica: 123,8763 1236,840. 4.22 0.000000000000211 0.000238 9.10

Se queres conferir os teus resultadosclica aqui

     Uma das vantagens desta notação, que foi mencionada no início, era a facilidade de operar com esses números de uma forma mais fácil do que com os seus equivalentes numéricos . Vamos ver como multiplicar num caso desses: 
De uma forma geral tem-se:

(N X 10^x) (M X 10^y) = (N X M) X 10^x+y

1. Primeiro multiplica-se N por M .
2. Depois efectua-se a multiplicação das potências (soma-se os expoentes).
3. Finalmente seguem-se as regras atrás expostas.

II Agora outros exemplos para tu fazeres: (3 X 105) (3 X 106) = ? (2 X 107) (3 X 10-9) = ? (4 X 10-6) (4 X 10-4) = ?

Para conferires os teus resultados clica aqui

    Convém ainda veres o que fazer em casos como este: 13,5 X 10⁸ , e isto acontece muitas vezes como resultado de uma operação. Claro que é simples:

Por exemplo: 13,5 X 10⁸

Basta ajustar como anteriormente a colocação da vírgula: 1,35 X 10¹X 10⁸ = 1.35 X 10⁹

O mesmo para casos como 0.03X10⁴ (onde o N é um número igual a 0 )

Vê este exemplo : 0.0078 X 10⁵ =7.8 X 10^(-3)X 10⁵ = 7.8 X 10^5-3 = 7.8 X 10²

Foi necessário mover a vírgula 3 casas:

7.8 X 10^5+(-3) = 7.8 X 10^5-3 = 7.8 X 10²

Divisão de dois números em notação científica

O caso geral pode ser expresso por :

N X 10^x / M X 10^y = N/M X 10^x-y

Claro está que depois de efectuada a divisão de N por M há que, se o resultado precisar,  utilizar os procedimentos atrás mencionados. Cuidado com os sinais ao subtrair os expoentes !

Eis um exemplo : 6 X 10⁵  :  2 X 10² =

1. Fazer a divisão de N por M ou seja  6/2 = 3
2. Subtarir os expoentes,  pois 10⁵ : 10² = 10^5-2 = 10³
3. Apresentar o resultado final : 3 x 10³

III Apresenta os resultados das operações indicadas na notação científica 3.45 X 108 / 6.74 X 10-2 = ? 6.7 X 107 / 8.6 X 103 = ?  4.7 X 10-2 / 5.7 X 10-6 = ?

Para conferir os resulados clica aqui

Adição e Subtracção de números em notação científica

Nos casos mais simples onde os expoentes de 10 são iguais , basta pôr em evidência a potência de 10 que é comum:

(N X 10^x) + (M X 10^x) = (N + M) X 10^x

ou

(N X 10^y) - (M X 10^y) = (N-M) X 10^y

Sempre com o cuidado já atrás recomendado : verificar se o resultado de N-M ou N+M não precisa de ser também trabalhado

Mas nem sempre os expoentes dos números são iguais. Então há que transformar os números por forma que isso aconteça .

Exemplo :(2.3 X 10^-2) + (3.1 X 10^-3)

Vamos então transformar o primeiro número (podiamos optar por o fazer com o segundo)

2.3 X 10^-2 =23. 10^(-1) X 10^-2 = 23. X 10^-3

Agora já a operação é simples: (23. X 10^-3) + (3.1 X 10^-3) = (23. + 3.1) X 10^-3 = 26.1 X 10^-3

Mas atenção: 26.1 é maior que 10 logo : 26.1 X 10^-3 =2.61 X 10 X 10^-3 ou seja  2.61 X 10^-2  

Outro exemplo:

(4.2 X 10⁴) - (2.7 X 10²) =

Agora, para variar, vamos ajustar o 2º número

2.7 X 10²  fica  0 .027 X 10²⁺² = 0.027 X 10⁴

E a operação pode escrever-se:  (4.2 X 10⁴) - (0.027 X 10⁴) = (4.2 - 0.027) X 10⁴ = 4.173 X 10⁴

IV Ef ectua: (8.41 X 103) + (9.71 X 104) = ? (5.11 X 102) - (4.2 X 102) = ? (8.2 X 102) + (4.0 X 103) = ? (6.3 X 10-2) - (2.1 X 10-1) = ?

Confere os teus resultados clica aqui

Ao estudarmos os logaritmos decimais vimos que eles são uma forma de se escrever números reais positivoscomo potências de 10. Por exemplo, , pois . O logaritmo decimal é o expoente da base 10.

A notação científica é uma outra forma de escrevermos números reais recorrendo a potências de 10.

Mantissa e Ordem de Grandeza

Ao escrevermos um número em notação científica utilizamos o seguinte formato:

Onde o coeficiente a é um número real denominado mantissa, cujo módulo é igual ou maior que 1 e menor que10 e o expoente b, a ordem de grandeza, é um numero inteiro.

Exemplos de Números Escritos em Notação Científica

Para escrevemos o número real n em notação científica precisamos transformá-lo no produto de um número real igual ou maior que 1 e menor que 10, por uma potência de 10 com expoente inteiro.

A mantissa é obtida se posicionando a vírgula à direita do primeiro algarismo significativo deste número.

Se o deslocamento da vírgula foi para a esquerda, a ordem de grandeza será o número de posições deslocadas.

Se o deslocamento da vírgula foi para a direita, a ordem de grandeza será o simétrico do número de posições deslocadas, será portanto negativa.

Veja como fica 2048 escrito na forma de notação científica:

2048 foi escrito como 2,048, pois 1 ≤ 2,048 < 10.

Como deslocamos a vírgula 3 posições para a esquerda, devemos multiplicar 2,048 por 10³ como compensação.

Veja agora o caso do número 0,0049 escrito na forma de notação científica:

Neste caso deslocamos a vírgula 3 posições à direita, então devemos multiplicar 4,9 por 10^-3. Veja que neste caso a ordem de grandeza é negativa.

Veja o número 1 escrito em notação científica:

Como a vírgula não sofreu deslocamento nem para a direita, nem para a esquerda, a ordem de grandeza é igual a0.

Outros Exemplos de Números Escritos em Notação Científica

Note que em todos os exemplos acima o valor absoluto da mantissa é igual ou maior que 1 e menor que 10 e que a ordem de grandeza é um número inteiro.

Observe que 12,5 ^_. 10^-1 e 4,7 ^_. 10^2,5 são exemplos de números que não estão escritos corretamente em notação científica.

No primeiro exemplo a mantissa 12,5 é maior que 10.

No segundo exemplo a ordem de grandeza 2,5 não é um número inteiro.

Mudando a Posição da Vírgula e Ajustando o Expoente

Como em um número escrito em notação científica a vírgula sempre deve ser posicionada à direita do primeiro algarismo diferente de zero, se não for este o caso o procedimento a ser realizado é o seguinte:

Se deslocarmos a vírgula n posições para a direita, devemos subtrair n unidades do expoente.

Ao deslocarmos a vírgula n posições para a esquerda, devemos somar n unidades ao expoente.

Como visto acima, 12,5 ^_. 10^-1 não está na forma padronizada, então precisamos deslocar a vírgula 1 posição para a esquerda e também acrescentar 1 unidade ao expoente, o que resulta em 1,25 ^_. 10⁰.

No caso do número 0,0078 ^_. 10⁵ precisamos deslocar a vírgula 3 posições para a direita e subtrair 3 unidades do expoente, resultando em 7,8 ^_. 10².

Operações Envolvendo Notação Científica

Adição

Para somarmos diversos números em notação científica é necessário que todos eles possuam a mesma ordem de grandeza.

Se houver diferença, devemos realizar uma conversão para igualar o expoente das potências de 10.

Para realizar esta soma vamos deixar todas as potências com o expoente 2.

A primeira parcela permanece inalterada:

No caso da segunda parcela precisamos reduzir o expoente de 3 para 2, então a vírgula na mantissa será deslocada uma posição para direita:

Esta operação é o mesmo que multiplicar a mantissa por 10 e dividir a potência também por 10.

A terceira parcela terá o expoente aumentado em 3 unidades e a vírgula da mantissa será deslocada o mesmo número de posições para a esquerda:

Isto é equivalente a dividir a mantissa por 1000 ou 10³ e multiplicar a potência pelo mesmo valor.

Agora temos todas as parcelas com a mesma ordem de grandeza:

Somamos as mantissas:

Como a mantissa não é menor que 10, precisamos deslocar a vírgula uma posição para a esquerda, acrescentando também uma unidade ao expoente:

Portanto:

Subtração

Para a realização da subtração também é necessário que o minuendo e o subtraendo possuam a mesma ordem de grandeza.

Vejamos a subtração abaixo cujos termos já vimos no caso da adição:

Vamos deixar todas as potências com o expoente 2 e realizar a subtração:

Veja que a diferença não está no padrão desejado, então precisamos deslocar a vírgula 1 posição para a esquerda e adicionar 1 uma unidade ao expoente:

Logo:

Multiplicação

A multiplicação é bastante simples. Multiplicamos as mantissas e somamos as ordens de grandeza.

Multiplicando as mantissas e somando os expoentes temos:

Então:

Divisão

Dividimos as mantissas e subtraímos as ordens de grandeza.

Dividindo as mantissas e subtraindo os expoentes temos:

Portanto:

Potenciação

Para elevarmos um número em notação científica a um expoente n, devemos elevar a mantissa a n e multiplicar a ordem de grandeza também por n.

Realizando os procedimentos indicados temos:

Logo:

Radiciação

Para realizarmos a radiciação é necessário que a ordem de grandeza seja divisível pelo índice, para assim podermos realizar a retirada do radical.

Note que a ordem de grandeza, que é igual a 2, não é divisível pelo índice 3. Para ser, vamos adicionar 1 unidade a ela, deslocar a vírgula da mantissa 1 posição para a esquerda e realizar a radiciação:

Então:

Comparação de Números em Notação Científica

Independentemente da mantissa, o número que possuir a maior ordem de grandeza será o número maior:

1,5 ^_. 10⁴ é maior que 3,2 ^_. 10², mesmo sendo a sua mantissa 1,5 menor que a mantissa 3,2, pois a sua ordem de grandeza 4 é maior que a ordem de grandeza 2.

8,7 ^_. 10^-3 é menor que 5,3 ^_. 10^-2, ainda que a sua mantissa 8,7 seja maior que a mantissa 5,3, isto porque a sua ordem de grandeza -3 é menor que a ordem de grandeza -2.

Quando dois números possuem a mesma ordem de grandeza o maior será o que possuir a maior mantissa:

Como ambos os números possuem a mesma ordem de grandeza, 2,45 ^_. 10⁵ é o menor deles, pois é o que possui a menor mantissa.

Visto que os dois números têm a mesma ordem de grandeza, 4,5456 ^_. 10³ é o maior dos dois, pois é o que tem a maior mantissa.

Nem é preciso dizer que quando tanto a mantissa, quanto a ordem de grandeza forem iguais, os números também serão iguais:

Os números acima são iguais, já que suas mantissas e as suas ordens de grandeza são iguais.

Conversão da Notação Científica para a Notação Decimal

Realizamos tal conversão simplesmente deslocando a vírgula da mantissa para a direita ou para esquerda, em função da ordem de grandeza ser respectivamente positiva ou negativa.

Como neste exemplo a ordem de grandeza é positiva, devemos deslocar a vírgula 3 posições para a direita e eliminar a potência:

Neste outro exemplo a ordem de grandeza é negativa, devemos então deslocar a vírgula 2 posições para aesquerda eliminando a potência:

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